学校首页  |  设为首页  |  加入收藏夹
任何晶面拥有(hkl) 的指数
发布时间:2019-10-15  点击数:

  第四章 晶向、晶面等概念 1 4.1 原子坐标 正在空间三维坐标系中, 一个点A用一组坐标(x,y,z)暗示, 一条曲线用曲线方程 ax+by+cz=0来暗示。 原子正在晶胞中的可用 原子坐标 暗示。 2 什么是原子坐标? 原子坐标是以单元晶格长度为坐标,以数字表 示某一原子核心处正在晶格中的的一种暗示方 法,原点一般选正在晶胞极点上。 (0,0,0)暗示处于极点上的原子 1 1 1 ( , , ) 暗示处于体心上的原子 2 2 2 简单立方格子的原子坐标 (0,0,0) 3 体心立方格子:(0,0,0) ( 1 1 1 , , ) 2 2 2 4 面心立方格子:(0,0,0) ( 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 0 )( 0 , 1 , 1 ) 2 2 2 2 2 2 5 金刚石的晶胞:(0,0,0) 1 1 1 1 1 1 (1/4,1/4,1/4)(3/4,3/4,1/4) ( , 0 , )( , , 0 )( 0 , , ) 2 2 2 2 2 (1/4,3/4,3/4)(3/4,1/4,3/4) 2 也能够将原子的投影到布局晶胞的底面上,以数字 标明它所正在的高度。 6 4.2 晶面及晶面指数 什么是晶面?保持统一层质点的平面 什么是晶面间距?相邻两层平行晶面之间的距离 什么是面密度?晶面上质点的密度 正在统一晶体的格子布局中,沿分歧标的目的能够形成 很多组如许彼此平行的晶面,分歧晶面间相互相差一 定角度,而且他们的晶面间距、面密度及质点品种、 价键密度也分歧,这将导致这些晶面的物理、化学性 质有所分歧。为区分这些晶面,结晶学上人们用晶面 指数来标记(密勒指数)。 7 密勒指数 是颠末约简的该晶面正在三个晶轴上的截距的倒数之比 确定密勒指数的三个步调: 1) 该晶面取x, y, z 轴订交的长度r, s, t(暗示订交长度别离 为a、b、c 的r、s、t 倍),别离取其倒数1/r, 1/s, 1/t; 2) 对这三个分数进行通分,用分母的最小公倍数做分母; 3) 通分后三个分数的就是晶面指数(h k l) 1 11 3 3 2 2, 2, 3→ ,,→ ,,→ (332) 2 23 6 6 6 8 9 两种特殊环境: 1)当晶面和晶轴平行时,认为:该晶面取晶轴正在 无限远处订交,截距∞,1/∞=0,因而晶面正在 这个晶轴上的密勒指数为0,(110)暗示取Z轴平 行 的 晶 面 , (100) 表 示 平 行 于 YZ 平 面 的 晶 面 , (001)暗示平行于XY平面的晶面。 2)若是晶面取某一晶轴的负标的目的订交,则响应的指 {h k l } 暗示一个 数上加以负号,如 ( 1 10)、( 121 ), 晶面族,晶面族内的各个晶面相互等同,这是由 于晶体布局上对称性决定的。 10 {100} 包含 (100),(010),(100),(010),(001),(001) 共六个晶面 {110} 包含共十二个晶面 (110),(101),(011),(110),(101),(011),(110),(101),(011),(110),(101),(011) {111} 包含 (111),(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111) 共八个晶面 110 暗示一个晶面; (110)暗示一组平行晶面; {110}暗示由对称性联系起来的一组空间等同晶面。 11 立方晶系中六个等同的{100}晶面、十二个等同的{110}晶 面、八个等同的{111}晶面。 (第四次练习内容) 12 4.3 晶向及晶向指数 什么是晶向? 正在晶体中任何一条穿过很多质点的曲 线标的目的称为晶向。 确定晶向指数的三个步调: 1)先做一条平行于该晶向的曲线,并使其通过晶胞原 点; 2)正在这条曲线上任取一点,求其正在 x、y、z轴上的三 个坐标,一般拔取结点; 3)相乘或相除统一整数,化为最简整数比,即为晶向 指数;用 [ μνω ] 暗示 13 1 1 1 12 , , ??→[ 463]→[ μνω ] 32 4 14 因为对称性的关系,也有若干个晶向常常是等同的。 它们形成一个晶向族,用uvw来暗示这一系列的晶向。 例如:对于立方晶系 100 包含 [100],[010],[100],[010],[001],[001] 共六个晶向; 110包含 [110],[101],[011],[110],[101],[011],[110],[101],[011],[110],[101],[011] 共十二个晶向 111包含 [111],[111],[111],[111],[111],[111],[111],[111] 共八个晶向 正在立方晶系中,因为 ( a,b,c,α , β ,γ ) 晶轴参数的特殊 关系,某一晶面(hkl)取指数不异的晶向[hkl]刚好垂曲。正在 其他晶系中,这一关系不必然存正在。 15 正在六方晶系中,为了能充实表现六方晶系的六 沉轴对称性,常常用四个坐标指数暗示晶面,被称 为密勒布喇菲指数(hkil)。此时所拔取的是由四个 晶轴a1、a2、a3、c 所构成的坐标系统。h、k、i、 l 四个指数中,只要三个是的,此中h+k=- i;h+k+i=0。 正在六方晶系中,晶向最好用 a1、a2、c三个晶 轴坐标系统暗示,即[uvw], 但也有用a1、a2、a3, c四个晶轴坐标系统暗示的即[uvtw],四个坐标指数 满脚u+v+t=0的关系。 16 正在具体确定晶向指数的时侯,拔取取待定晶 向相临近的两个a轴为晶轴,而取另一个a轴 相对应的晶向指数,则由 u+v+t=0 来确定。 17 六方晶系中的晶面取晶向 18 (110 )(110 )(110 )(110 ) 晶面 19 ? 113 [113][131][311]? ? ? 晶向 晶面 (113)(131)( 311)(113) 20 4.4 倒易点阵 研究倒易点阵的目标: (1)更清晰地领会x射线正在晶体衍射中的几何概念; (2)更清晰、更容易理解晶面的存正在及其坡度、晶面 间距等问题; (3)倒易点阵是固体物理学中会商能带理论的主要方 法; 倒易点阵的本色: 倒易点阵本身是一种几何构图, 是一种数学笼统,是一种数学变换。 21 倒易点阵是由很多点子形成的虚点阵; 倒易点阵是由具有晶格a、b、c的晶体点 阵(或称误点阵、实点阵)颠末必然的数学变换 而来的一种虚拟点阵。 晶体点阵(正格子) 倒易点阵(倒格子) 倒易点阵的空间称倒易空间。 已知晶体点阵求解未知倒易点阵 已知倒易点阵求解未知晶体点阵 4.4.1 倒易点阵的几何阐发 倒格子中的每一个结点和本来晶体点阵中各个 响应的晶面有倒易关系 22 对应关系:若是两个点阵(即晶体点阵和倒易点阵)有一个 配合的原点 (1) 晶体点阵中的(hkl)晶面正在倒易点阵顶用一点Phkl来暗示, Phkl点和原点O间的连线垂曲于晶体点阵中的(hkl)晶面; (2) 若是倒易点阵中的Phkl点和原点O间的距离OP=Hhkl,则 Hhkl=1/dhkl, 式中dhkl是(hkl)晶面族的晶面间距。 图4.4.1 误点阵取倒易点阵的图示 23 由上述方式变换获得的倒易点阵结点调集起来具有点阵性质。 图示一个通俗单斜 晶系的四个晶胞的ac 晶面, b 轴垂曲于纸 面, o 点是正格子和 倒格子的公共原 点。 24 轮序置换三矢量夹杂积的三个因子,其积不变;对换两个 相邻的因子,要改变乘积的符号。 ( A×B ) C = ( B×C ) A = (C× A) B = ?( B× A) C = ?(C×B ) A = ?( A×C ) B ? ? ? ? ? ? ? A?B?C ? = ? B?C ? A? = ?C ? A?B ? = ? ? B? A?C ? = ? ?C ? B? A? = ? ? A?C ? B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( A×B ) C = A ( B×C ) ? ? ( A×B ) A = ( B× A) A = ( A× A) B = 0 ? ? ? 几何意义: ? ABC ? =( A× B )iC 是如许的一个数,它的 矢量的夹杂积 ? ? 绝对值暗示以矢量 A、、 B C 为棱的平行六面体的体积。 若是矢量 A、、 B C 构成一个左手系,那么积的符号是正的, 若是构成一个左手系,那就是负的。 25 4.4 .1 倒易点阵的矢量阐发 若是晶体点阵中的三个晶轴矢量是 a、、 b c ,响应的倒易点 阵矢量是 a ?、 a、b、c(正格子),倒易点 b ?、 c ?,晶胞的三个棱长是 、 阵中对应的参数是 a?、b?、c?(倒格子)。 那么有 a? ? b=a? ? c = b? ? a = b? ? c = c? ? a = c? ? b = 0 (决定倒易矢量的标的目的) a? a=b?b =c?c =1 (决定倒易矢量的大小,长短) a?= 1 a cos a?a? b?= 1 b cos b?b? c?= 1 c cos c?c? 26 倒易矢量的别的一种定义 b×c ? a = ab×c b?= c× a ab×c a×b ? c = ab×c a ? b × c = a ? ε ?( b )( c ) sin a ? = a ? cos a ? ?( b )( c ) sin a ? = OP ? ? OBCD的面积? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 1? 1? =单元平行六面体的体积=体积V 27 a? = b×c V = A 1 1 = = A?OP OP d 100 c? = 1 d 001 同理有 1 b? = d 010 正在任何晶轴正交的晶体点阵(正交、四方、立方)中, 三个晶轴标的目的取晶胞的三个棱标的目的是分歧的,那么有 a? // a b? // b c? // c 1 a? = a 1 b? = b 1 c? = c a =d 100 b=d 010 c=d 001 28 什么是倒格矢量? 由倒易点阵的原点到此中任何一个结点Phkl的矢 → 量称为倒易矢量(或称倒格矢量),用 H hkl 暗示。 倒格矢量 晶格矢量 H = ha? + kb? +lc? T = ma + nb + pc m,n, p 29 求证:倒易矢量 H = ha? + kb ? + lc? (此中的h、k、l均为整数 ) 垂曲于晶体点阵中的(h k l)平面同时和 dhkl 有倒易关系 证明: (1)若ABC平面为晶面族(hkl)中的一个平面,则得出: OA= a h OB = b k OC = c l a b ∵OA+ AB= + AB =OB = h k b a ∴ AB = ? k h ? ? ?b a? H ? AB = ? ha? + kb? +lc? ? ? ? ? ? = 1?1 = 0 ? ? ?? ?k h? ∴H ⊥ AB H ⊥ AC H ⊥( hkl )即H ⊥ ABC平面 30 (2)设 n 是沿H标的目的的单元矢量 ∵ON 是OA正在H 标的目的上的投影 ∴ON=d 但n = H H a = ?n hkl h ? ? ? +lc? ? ha kb + ? 1 a a H a? ? ?= ∴d = ?n = ? = ? h H h H H hkl h 1 ∴H = d hkl 以上证得的关系式取本节对倒易点阵的几何干系的规 定是分歧的。 31 4.5 晶面间距、晶面夹角及晶带 4.5.1 晶面间距 什么是晶面间距? 凡是一组平行晶面中最相邻的两个晶面间的距离。 (hkl)晶面, dhkl最相邻的晶面间距。 正在晶体中晶面指数最低的晶面老是具有最大的晶面间距。 32 推导晶面距离公式 H= 1 d hkl H2 = 1 ( d hkl ) 2 H ? H = H 2 ? cos 00 = H 2 1 ∴ = H 2 = H ? H = ha ? + kb? + lc? ? ha? + kb? + lc? 2 ( d hkl ) ( )( ) ( ) = h 2 a ?2 + k 2b?2 + l 2 c?2 + 2hk a? ? b? + 2hl a? ? c? + 2kl b? ? c? ( ) ( ) 将各个晶系晶体点阵取倒易点阵的关系带入 公式,即可求晶面间距。 a = b = c, α = β = γ = 90 正在立方晶系中 1 0 a ? = b? = c ? = ? ? ? ( a ? b ) = (b ? c ) = ( c ? a ) = 0 ? ? ? a , V = a3 ∴ 1 ( d hkl ) 2 h2 + k 2 + l 2 = a2 a h2 + k 2 + l 2 ∴ d hkl = 其它晶系做为领会,一般不常用。 33 4.5.2 晶面及晶向间夹角 什么是晶面夹角? 两个指数分歧的晶面间夹角 什么是晶向夹角? 两个指数分歧的晶向间夹角 这是研究晶体取向及研究取 晶体取向相关的性质经常牵扯到 的问题 以立方晶系为例, 有指数为[h1k1l1]和[h2k2l2]两 个晶向,两者间夹角为φ 由晶向的定义可知: h1,k1,l1 是[h1k1l1]正在晶向标的目的上某 一点A1正在三个晶轴上的坐标数 h2,k2,l2 是[h2k2l2]正在晶向标的目的上某 一点A2正在三个晶轴上的坐标数 34 ∴[h1k1l1] 取[h2k2l2]的夹角=OA1、OA2间的夹角 ? 立方晶系 OA1=h1 i + k1 j + l1 k OA2=h2 i + k2 j + l2 k 矢量的点乘: ∴ cos ? = = OA1 OA2= OA1 OA2 ? cos ? OA1 OA2 OA1 OA2 h1h2 + k1k2 + l1l2 h12 + k12 + l12 h2 2 + k2 2 + l2 2 1 11 1 11 2 2 2 2 2 2 [h k l ] ⊥ ( h k l ) 正在立方晶系中,因为 [ h k l ] ⊥ ( h k l ), ∴晶面(h1k1l1)取(h2k2l2)的夹角也合用上式。 立方晶系中,不异指数的晶面间和晶向间具有不异的夹角 其它晶系的环境比力复杂,不逐个列出。 35 举例 cos ? = (110 ) 取 (111) 晶面之间的夹角 ?110 ? ? ? 2 3 ? = 35.27° 取 [112] 晶面之间的夹角 cos ? = 0 ? = 90° (100 ) 取 ( 010 )晶面之间的夹角cos ? = 0 ? = 90° 36 4.5.3 晶带 正在晶体中若是很多晶面族同时平行于一个晶向时,则这些 晶面称为晶带,这个晶轴称为晶带轴。 正在图示的正交晶系中,晶面 (100 )、 ( 010 )、 (110 )、 (120 )、 (110 )、 (120 ) 均平行于[001]晶向,这些晶 面形成以[001]为晶带轴的晶 带。 37 纪律:若是晶带轴的标的目的指数为[uvw],任何晶面具有(hkl) 的指数,并且合适下列前提: hu+kv+lw=0 则这个(hkl)晶面属于以[uvw]为晶带轴的一个晶带。 证明: 由于统一晶带的各个晶面和其晶带轴都是互相平行的, 所以各晶带面的法线必定正在垂曲于晶带轴的统一平面 上。任何晶带面的(hkl)的倒易矢量 H 必取晶带轴[uvw] 垂曲, 则晶带轴矢量 = ua + vb + wc H = ha? + kb? + lc? ∴ ua + vb + wc ? ha? + kb? + lc? = 0 ∴ hu + kv + lw = 0 因两者垂曲 ( )( ) 38 操纵晶带轴和晶带面指数之间的关系,能够解答以下两个问 题: 1、若是(h1k1l1)和(h2k2l2)是以[uvw]为晶带轴的两个晶面族 则晶带轴的指数为 u = k1l2-k2l1 v = l1h2-l2h1 w= h1k2-h2k1 2、若是一个晶面(hkl)同时属于两个晶带,其晶带轴别离为 [u1v1w1] 和 [u2v2w2], 则晶面指数为 h = v1w2-v2w1 k = w1u2-w2u1 l = u1v2-u2v1 39 例1:(100)和(110)两个晶面同时属于晶带轴(uvw) 则:u=0, v=0, w=1, 这个晶带轴是(001) 例2:(hkl)晶面同时属于两个晶带轴[001]和[010] 则:h=1, k=0, l=0, 这个晶面是(100) 40 4.6 晶体的极射赤面投影暗示 正在晶体学及x 射线衍射工做中,很是需要用 一种方式将一个立体的晶体(或晶体点阵中的一个 晶胞)投影到一个平面上,以便很简单而明白地表 示晶体点阵中各个晶面的取向及其夹角间、晶带 间的关系以及对称性等特征。 经常用到两种方式:球面投影和极射赤面投 影。 4.6.1 球面投影 取参考球比拟,晶体的相对体积很小,因而能够认为 每个晶面都穿过球心,一般是任何通过球心的平面都和球 面订交成“大圆”,任何欠亨过球心的平面都和球面订交成 “小圆”。 41 设想: 将一个很小的晶体 放正在一个大圆球(称参考 球或极球)的核心处由晶 体的各个分歧晶面做它 们的法线和参考球的球 面订交为很多点(称极 点),这种投影称为晶体 的球面投影。 顶点实点(银灰色) ―前半球 顶点虚点(浅蓝色) ―后半球 42 一般纪律: 1、若是几个订交的平面(通过球心)具有必然的 夹角,那么它们的法线等也有必然的角距离。 2、若是这些晶面属于晶体中的统一晶带,那 么它们的法线正在统一平面上,因此它们的 顶点P1、P2、P3正在统一大圆上,而其晶带轴 的顶点正在90°以外,即垂曲于大圆的曲 径和参考球面所构成的顶点。 43 4.6.2 极射赤面投影 将察看者的眼睛放正在参考球的一个顶点上(或正在P处放一 个光源),连P点及球心的连线,正在对方球面于 p′ 点,则 通过赤道而且垂曲于 pp′的平面将成为投影面。取参考球相 交于赤道成为一个大圆,这个大圆称为基圆。 A A′ 44 晶体上某一个晶面的法线取参考球面订交而成 的A点,将投影到基园上成为 A′点。 晶体点阵平面的球面投影顶点正在上半球以内者 均能够投影到基圆以内,而鄙人半球面上的顶点, 则投影到基圆以外。愈近 P 点的顶点,投影点距基 圆圆心愈远。若需要下半球顶点的投影,可将光源 移至 P′点,投影面不变,所得投影点一律加以负 号或用空心圆圈暗示。投影面是过赤道面的平面, 察看点正在顶点上,顾名思义,这种投影体例称之为 “极射赤面投影”。 45 参考球上的大圆投影到基 圆上成为圆弧,其两头正在 基圆曲径的两对点上。 通过PP′的大圆其投影 正在基圆上成为曲径。 (1)求取极射赤面投影S值的 方式 球面上某一顶点x取P′之 间的角距离为γ,则x点正在极射 赤面上的投影顶点x′取基圆圆 心O之间距离为S, S= OP×tg(γ/2) = r×tg(γ/2) 46 (2) 参考球上的小圆的极射 赤面投影 参考球上的小圆正在极射 赤面上的投影图也将成为 圆,但球上小圆的核心投影 到极射赤面上并不正在投影图 的几何核心,但正在角距离中 心。 推导证明!!! 47 操纵极射赤面投影的方式能够便利地把某一晶体的各个晶 面的法线标的目的标识表记标帜到赤平面上。对于立方晶系晶体晶向和晶面 的法线标的目的是分歧的,因而也就是把晶向标识表记标帜到赤平面上,见 图4.6.8。图中○,□,△别离暗示2沉对称轴,4沉对称轴,3沉 对称轴。 (a) (100) (b) (011) (c) (111) 48 4.7 晶体的定向方式 按照布拉格方程2dhklsinθ=nλ,采用波长为λ的x射线 以θ角入射到晶体上,若满脚该方程时,x射线就会正在晶面间 距为dhkl的一族平行晶面(hkl)上发生衍射,n为整数。 图4.7.1 单色x射线、晶格华夏子的暗示方式:原子坐标 2、晶面的暗示方式:晶面指数,若何确定? 3、晶向的暗示方式:晶向指数,若何确定? 4、倒易点阵的意义?倒格子取正格子的关系? 5、倒易点阵的矢量阐发。 6、晶面间距,晶向间夹角,晶带取晶带轴。 7、极射赤面投影取球面投影,以及相关问题。 50